Función de transferencia de un circuito RLC

Saludos compañeros.

Hoy realizaremos un sencillo y breve paso a paso del análisis matemático de un circuito RLC.

Primeramente se realizará un análisis del lazo teniendo en cuenta el comportamiento de la corriente en un circuito serie y se usarán las ecuaciones correspondientes para cada elemento del circuito RLC.

 

Comencemos:

Circuito RLC

Un circuito RLC es aquel que está conformado por una resistencia, un capacitor y un inductor.

La ecuación diferencial que se obtiene para este circuito es de segundo orden.

Este circuito tiene aplicaciones muy puntuales: Como filtros de frecuencia o transformadores de impedancias.

Los filtros de frecuencia rechazan una determinada frecuencia proveniente de una señal eléctrica. Estos pueden ser pasa altas, pasa bajas y pasa bandas.

Ya hablaremos de forma más específica de los filtros en otro post.

Los filtros tienen muchas aplicaciones en la electrónica más que todo en telecomunicaciones 

Los transformadores de impedancia ya se usan como sistemas de acoplamiento sobre todo en las antenas de televisión.

Los puedes encontrar en antenas, balunes y en los viejos amplificadores de sonido construidos con válvulas de vacío.

Después de haber hecho esta pequeña introducción, ahora si vamos con el análisis del circuito RLC.

 

PASOS PARA EL ANÁLISIS DEL CIRCUITO RLC.

1) analizar la malla RLC.

Circuito RLC

Para este análisis se definen los voltajes de cada uno de los elementos así como la corriente en el circuito serie.

Para este sistema en particular, la corriente es la misma y no cambia para los elementos presentes en el circuito.

2) escribir las ecuaciones diferenciales que rigen el comportamiento de cada uno de los elementos.

Voltaje en la resistencia.

Circuito RLC

Voltaje en el inductor.

Circuito RLC

Corriente en el condensador

Circuito RLC

3) Se inicia con el análisis de malla para el circuito aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff.

Circuito RLC

Vf: voltaje de la fuente

VR: Voltaje de la resistencia

VL: Voltaje en el inductor

VC: Voltaje en el condensador

Vf: estaba restando, pasa a donde está en cero con signo positivo.

Como es un circuito serie, las corrientes son iguales para los tres elementos, por lo tanto:

Circuito RLC

Esto es sumamente clave para encontrar la función de transferencia del sistema RLC.

4) Reemplazamos las ecuaciones del paso 2, en la ecuación obtenida del paso 3 

Circuito RLC

Luego de reemplazar, la ecuación nos queda así:

Circuito RLC

5) Recuerdan lo que habíamos dicho?

Circuito RLC

El paso clave para resolver la ecuación obtenida en 4 es que las corrientes en el circuito son iguales.

En este caso, conviene jugársela con la corriente del condensador puesto que conocemos su ecuación diferencial

Circuito RLC

Todas las corrientes que se ven en esta ecuación:

Circuito RLC

de ahora en adelante se llamarán Ic(t).

Esta ecuación:

Circuito RLC

Nos quedará así:

Circuito RLC

6) Organizamos la ecuación obtenida en el paso 5 para que se vea elegante.

 Circuito RLC

7) Se presenta la ecuación diferencial del circuito RLC de una forma más ordenada.

Circuito RLC

8) Se reemplaza en donde haya derivadas por S (Laplace).

En Vc(t) por Vc(s)

Circuito RLC

9) Sacamos factor común Vc(s)

Circuito RLC

10) Se presenta la relación Vc(s)/V(s)  como función de transferencia de un circuito RLC

Circuito RLC

11) La ecuación está mal representada ya que debe tener la siguiente forma:

Circuito RLC

Se procede a normalizar la ecuación la cual queda de la siguiente forma:

Circuito RLC

Eso es todo amigos.

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