ANÁLISIS DE NODOS
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INTRODUCCIÓN.
En este post, aprenderemos en particular a realizar análisis de circuitos empleando nodos o ley de voltaje de nodos.
Antes que nada te recomendamos que visites los contenidos relacionados con circuitos eléctricos DC con el fin de que tengas bases sólidas para dominar este tema.
Una vez comprendidas de forma clara las leyes de OHM y KIRCHHOFF, estamos más que listos para la acción: ¡ Es hora de efectuar análisis de nodos de forma teórica y práctica!
Citando el texto de Bruce Carlson- Circuitos, el análisis de nodos nos ofrece tres criterios importantes que son los siguientes:
1– Nos proporciona modos diferentes de transformar diagramas de circuitos en matrices con un número mínimo de incógnitas.
2– Las ecuaciones matriciales se deben dar en forma estándar pero su solución debe ser en forma manual o por computadora.
3– Cualquiera o todas las demás variables de interés, se deben obtener a partir de la solución de la ecuación matricial.
ANÁLISIS DE NODOS.
Para este método, interesa hallar los voltajes de nodo. Un nodo es la unión de varios elementos dentro de un circuito eléctrico. La ventaja de aplicar este método es el NÚMERO DE INCÓGNITAS, puesto que si usamos los métodos convencionales, el análisis se volvería complejo con altas probabilidades de cometer ERRORES.
Citando al texto de FUNDAMENTOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS, el análisis de nodos nos brinda un PROCEDIMIENTO general para resolver circuitos con el uso de voltajes de nodo como variables a encontrar.
La elección de los voltajes de nodo en vez de voltajes de elementos o dispositivos, resulta conveniente y reduce la cantidad de ecuaciones simultáneas a resolver.
ENTENDIENDO EL CONCEPTO DE VOLTAJES DE NODOS.
A continuación presentamos un circuito típico que posee 4 nodos señalados en rojo. En la parte inferior del mismo se logra apreciar claramente un nodo marcado con tres rayas horizontales que van desapareciendo el cual nos indica que el mismo se llama TIERRA o NODO DE REFERENCIA.
Cabe resaltar algo muy importante y es aclarar que la ubicación del nodo de referencia es ARBITRARIO es decir que puede ir en cualquier punto y de hecho: NO ES REQUISITO QUE EL CIRCUITO TENGA EL NODO DE REFERENCIA EN LA PARTE INFERIOR.
Los voltajes mencionados como: V1, V2 y V3 se llaman VOLTAJES DE NODO, reciben dicho nombre debido a que equivalen a la diferencia de potencial entre los demás nodos incluida la referencia. Lo anteriormente dicho se explica en la figura 2.
memoriza esta frase que dice: los voltajes de nodo de un circuito son los potenciales en nodos de no referencia con respecto a un nodo de referencia especificado.
PASOS PARA DETERMINAR LOS VOLTAJES DE NODO
1- seleccione un nodo como nodo de referencia. Asigne los voltajes V1, V2, Vn-1 a los n-1 nodos restantes. Los voltajes se asignan de acuerdo al nodo de referencia. Nota: (-1) es el nodo de referencia.
2- Aplique luego la ley de corriente de KIRCHHOFF para cada uno de los nodos (n-1) que son de no referencia. Una vez hecho esto, use la ley de ohm para expresar las corrientes de las ramas en términos de los voltajes de nodo. Nota: UNA RAMA REPRESENTA UN SOLO ELEMENTO COMO UNA FUENTE DE VOLTAJE O UNA RESISTENCIA. UN NODO ES EL PUNTO DE CONEXIÓN ENTRE DOS RAMAS.
3- Resuelve las ecuaciones simultáneas para obtener los voltajes de nodo desconocidos.
Explicando más claramente estos pasos, lo primero que debemos hacer es definir quien será el nodo de referencia o el nodo de tierra. Generalmente a este nodo se le define como cero puesto que en ese punto, llegan extremos de varias ramas o dispositivos electrónicos.
Lo segundo es aplicar la ley de corriente de Kirchhoff y una clave para aplicarlo a cada nodo es la siguiente: sume las corrientes que entran al nodo e iguale a las que salen, y hágalo de la siguiente forma:
Σ I (entran al nodo) = Σ I (salen del nodo)
lo anterior significa: (sumatoria de las corrientes que entran al nodo, es igual a la sumatoria de las corrientes que salen del nodo)
gráficamente se representará de la siguiente forma cuando tengamos un nodo:
podemos observar como al nodo A entra la corriente I1, de igual forma podemos observar como del mismo nodo salen dos corrientes que son I2 e I3 por lo cual y basados en la ecuación expresada anteriormente podríamos reemplazar las corrientes expresadas en la ecuación 1 y nos quedaría de la siguiente forma:
I1= I2+ I3
después de haber hecho lo anterior, lo conveniente es reemplazar en cada una de las corrientes, la ecuación de corriente en relación con la ley de ohm que ya conocemos.
Nota: para la expresión del voltaje, debe ser en relación con la diferencia de potencial o diferencia de voltaje cuando la corriente se traslada de un punto a otro o como vulgarmente se dice: cola menos cabeza.
Citando nuevamente el circuito anterior compuesto por las tres resistencias.
Podemos observar que los puntos Vx y Vy poseen voltaje, la expresión de las corrientes en términos de voltaje sobre resistencia V/R y en relación con la ecuación de las corrientes que entran igual a las que salen, la ecuación transformada nos quedaría de la siguiente forma:
de acuerdo a la ecuación anterior, Vx representa el voltaje de entrada.
Vy es el voltaje de salida o voltaje en otro punto.
Cero representa el nodo de referencia o el de tierra que generalmente estará en la parte inferior del circuito (aunque puede ir arbitrariamente) y V(nodo A) es el voltaje del nodo donde se interceptan las tres ramas o dispositivos.
Tal como se expresó en la nota anterior, podemos observar que en términos del voltaje en el numerador se expresa como diferencia de potencial o lo que vulgarmente conocemos como: cola menos cabeza. En este caso la cola sería Vx y la cabeza sería V(nodo A)
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Para entender este concepto resulta conveniente aterrizar lo explicado en la teoría a través de unos ejercicios de aplicación así que EMPECEMOS:
1) calcular los voltajes de nodo en el circuito presentado a continuación.
SOLUCIÓN
para este ejercicio, primeramente identifiquemos los nodos. Podemos observar que tenemos 3 NODOS, dos que contienen potencial identificados como V1, V2 y uno de referencia identificado como TIERRA
quiero agregar que: existen muchos métodos para resolver los circuitos, sin embargo yo emplearé mi método que consiste en resolver y luego sustituir. INSISTO! eres libre de aplicar el método que te parezca más conveniente.
analizamos el comportamiento de las corrientes.
Podemos observar que las corrientes que entran al nodo V1 son: I1 que no la conocemos y la fuente de corriente de 5 amperes. La única corriente que sale es I2 que no la conocemos.
Para el nodo V2, tenemos a 10 amperes como corriente que entra al nodo únicamente, y las corrientes que salen son: I3, I1 y la corriente de 5 amperes
ECUACIÓN DEL NODO 1
ECUACIÓN DEL NODO 2
para el nodo 1, resolvemos la ecuación reemplazando por sus respectivas diferencias de potencial en el numerador y el valor de R en el denominador llegando así a la ecuación de corriente típica de la ley de ohm.
la ecuación señalada en rojo, indica la ecuación obtenida del primer análisis.
vamos ahora con el segundo análisis correspondiente para el nodo V2
para la ecuación 2 (nodo V2), se procede a despejar cualquiera de las variables presentes que son V1 o V2.. (despeja la que usted quiera). En este caso, yo procedí a despejar V2. El despeje se efectúa de la siguiente forma:
se procede a reemplazar la ecuación obtenida de V2 en la ecuación planteada para el nodo V1. nota: en el 0.60 faltó V1. (favor colocarlo)
para hallar el voltaje del nodo V2, simplemente reemplazamos lo obtenido en V1 en la ecuación de V2.
si bien no nos piden encontrar las corrientes, podemos hacerlo debido a que ya conocemos las ecuaciones de nodo de ciertas ramas o dispositivos del circuito.
ejercicio 2.
Hallar los voltajes V1 y V2 para el siguiente circuito.
SOLUCIÓN
Identificamos las corrientes que entran a los respectivos nodos que serán considerados como V1 y V2
al nodo 1 entra la fuente de corriente de 1 ampere y salen dos corrientes por las resistencias de 6 ohms y 2 ohms.
al nodo 2 entra la corriente proveniente de la resistencia de 6 ohms y salen dos corrientes por la resistencia de 7 ohms y por la fuente de corriente de 4 amperes.
se plantean las ecuaciones de nodos.
NODO 1
NODO 2
resolviendo.
luego de esto, se procede a reemplazar V2 en V1
ejercicio 3.
hallar los voltajes de los nodos del siguiente circuito:
para este ejercicio en particular, se empleará la regla de cramer y el método alternativo ( si posee una computadora a la mano) , es emplear MATLAB para resolver el sistema de ecuaciones 3×3 empleando código.
Primeramente, se deben extraer las ecuaciones de cada nodo:
NODO 1
NODO 2
NODO 3
APLICANDO LA REGLA DE CRAMER.
una rutina en MATLAB nos permite agilizar el procedimiento matemático para aplicar regla de Cramer.
A= [3 2 1; 4 7 1; 2 3 1];
B=[12 0 0];
V =inv(A) * B
resultados
V=4.800
V = 2.4000
V=2.40000
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