CONTROL AUTOMÁTICO: MODELAMIENTO DE UN CIRCUITO RC.

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Saludos compañeros.

En este post, se muestra un análisis matemático de un circuito RC el cual está compuesto por dos elementos fundamentales como son: la resistencia y el capacitor.

Para este sistema se encontrará la función de transferencia:

voltaje de salida del capacitor vs voltaje de entrada.

 

voltaje de salida del capacitor vs voltaje de entrada.

Se tiene el siguiente circuito RC conformado lógicamente por una resistencia con un capacitor.

circuito RC

Como ya se mencionó previamente se obtendrá como función de transferencia el voltaje de salida del capacitor vs el voltaje de entrada.

PASOS.

1) Realizar el análisis de malla para este circuito tal como se ve a continuación.

Malla RC aplicando ley de kirchhoff.

ecuación de malla

2) Se procede a despejar el voltaje de la fuente identificado como V(t)

ecuación de malla despejada

3) El voltaje en un circuito serie para cada elemento es diferente, mientras que la corriente permanece constante alrededor del lazo, la corriente que pasa por la resistencia y el condensador es la misma.

corriente del circuito

IR = corriente en la resistencia.

IC= corriente en el condensador.

4) Por ley de ohm, el voltaje en la resistencia es igual a la corriente en la misma por su valor óhmico.

voltaje en resistencia

5) pero como habíamos mencionado en el paso 3.

relacion de corrientes

6) reemplazamos Ic por IR en la ecuación de la ley de ohm.

voltaje resistencia con corriente de condensador

7) reemplazamos en la ecuación realizada en el paso 2,  lo obtenido en el paso 6.

8) La ecuación de corriente de un condensador está definida de la siguiente forma:

ecuacion diferencial de la corriente en el condensador

donde

dVc(t):es la derivada del voltaje en el condensador.

C: valor del capacitor.

dt: derivada del tiempo. 

Ic(t): corriente en el condensador.

9) Se reemplaza la ecuación del paso 8 en 7.

reemplazo de las derivadas en la ecuacion de malla

10) se procede a multiplicar las constantes RC en la ecuación del paso 9.

reemplazo de las derivadas en la ecuacion de malla

11) se procede a llevar la ecuación obtenida a términos S (laplace). Las derivadas se representan como S y las variables que están respecto al tiempo como por ejemplo V(t) y Vc(t) se reemplazarán como V(s) y Vc(s).

función en términos de s

12) se saca factor común Vc(s).

13) procedemos a establecer la relación Vc(s)/V(s) para presentar la función de transferencia voltaje de salida del condensador vs voltaje de la fuente o entrada.

funcion de transferencia

funcion de transferencia

14) Como T=RC

finalmente la función de transferencia queda de la siguiente forma:

 

funcion de transferencia

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